про простые проблемы Ландау (36 replies)
К выводам, изложенным ниже, я пришел уже довольно давно, но считал их настолько очевидными и сами собой разумеющимися, что принял их к сведению и отложил в сторону:
п.1. Не каждое число вида $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$, где $k$ – натуральное число, является простым, но только число вида $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$ может оказаться простым.
п.2. Следствие 1 из п.1. Количество мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, ограничено.
Именно этими позициями, $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$, и ограничено.
п.3. Следствие 2 из п.1. Количество свободных мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, уменьшается с увеличением значения $k$ – натуральное число.
п.4. Вывод из следствия 2 из п.1. Расстояние, числовой промежуток, между соседними простыми числами имеет неравномерную тенденцию к увеличению, по причине уменьшения количества свободных мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, с увеличением значения $k$ – натуральное число.
Просматривая недавно в Википедии статью о простых числах, наткнулся на подраздел об открытых вопросах теории чисел. В рамках данной статьи рассмотрены приведенные там проблемы Ландау, с 1912 года до настоящего времени признаваемые открытыми проблемами теории чисел.
Первая проблема Ландау, она же бинарная проблема Гольдбаха, она же проблема Эйлера: верно ли, что каждое четное число, больше двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел.
Очевидно, что данное предположение было сделано на основании статистической обработки ограниченного количества данных и культивируется при игнорировании, либо непонимании, научных представлений, не вписывающихся в разрабатываемую модель. В доступной к исследованию части ряда натуральных чисел плотность расположения простых чисел сначала чрезмерная, потом высокая, с увеличением значений натуральных чисел плотность простых чисел в ряду натуральных чисел снижается. При этом, количество простых чисел не ограничено, бесконечно. Именно эти два, известных и научно признанных представления о простых числах, вместе делают первую проблему Ландау-Гольдбаха-Эйлера несостоятельной, ограниченной в применении. Не ограниченное количество простых чисел с возрастанием расстояния между ними однозначно допускают существование таких участков натуральных чисел, где произвольное простое число $p_{i}$ больше, чем удвоенное предыдущее ему простое число $p_{i-1}$:
$p_{i} > 2*p_{i-1}$
$ \frac{p_{i}}{2} > p_{i-1}$
Таким образом, четное число $n=(p_{i}-1)$ будет больше, чем сумма двух самых больших предыдущих простых чисел $p_{i-1}$ и $p_{i-2}$, даже если они являются простыми числами-близнецами, то есть
$ p_{i-1}- p_{i-2}= 2$
$ p_{i-2}= p_{i-1}- 2$
Тогда:
$p_{i-1}+p_{i-2}=p_{i-1}+p_{i-1}–2=2*p_{i-1}–2=2*(\frac{p_{i}}{2})–2=(p_{i}-2)<n=(p_{i}-1) $
И количество участков ряда натуральных чисел с подобным соотношением простых чисел $p_{i}$ и $p_{i-1}$ ничем не ограничено.
Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» - пар простых чисел, разность между которыми равна $2$.
При отсутствии наличия у нас полной закономерности расположения простых чисел, с учетом уменьшения плотности их распространения, неограниченности количества простых чисел, их привязанности к четным числам кратным шести, вероятность того, что множество «простых близнецов» бесконечно, мало существенна, но допустима как проявление неравномерности распределения простых чисел, и, на данный момент, быть математически рассчитана не может. Ведь, уменьшение плотности распространения простых чисел в целом, должно приводить и к пропорциональному уменьшению плотности распространения «простых близнецов», являющихся, всё-таки, простыми. В связи с этим упоминаемые, в том числе в Википедии, заявления о доказательствах существования бесконечного количества «простых близнецов», расстояние между которыми не превышает какое-то конкретное число, без указания условий и границ применения, вызывают недопонимание. То есть, расстояние между простыми числами увеличивается и не ограничено, а расстояние между парами простых чисел, разность между которыми равна $2$, научно-доказательно ограничено трехзначным числом.
Возможны три очевидных варианта объяснения их происхождения:
1) это совершенно обычные простые числа, их поведение полностью вписывается в неизвестные нам законы и правила происхождения и существования простых чисел;
2) одно из них является совершенно обычным простым числом, а другое – аномалией, исключением из неизвестных нам правил и законов происхождения и существования простых чисел;
3) они оба являются аномалией, исключением из неизвестных нам правил и законов происхождения и существования простых чисел.
И в оценке результатов работ граждан, указанных в Википедии, я исходил из невозможности аналитического выражения закономерности и ограничения их появления ни в одном из возможных вариантов: закона появления всех простых чисел пока нет, аномалия не контролируется по определению; а статистическая обработка ограниченного набора данных не допускает перенос этих результатов за пределы исследованного участка.
Третья проблема Ландау, она же гипотеза Лежандра: верно ли, что для всякого натурального числа $n$ между $(n^2)$ и $(n+1)^2$ всегда найдется простое число.
В данной проблеме имеется та же логическая ошибка, что и в известной с конца 20-го века статистической шутке: 20% англичан знают французский язык и 20% англичан лысые, значит, изучение французского языка англичанами ведет к их облысению. Следует принять и смириться, что закономерность появления квадратов чисел и закономерность появления простых чисел никак между собой не связаны. Квадраты натуральных чисел – это бесконечный ряд чисел, представляющий собой арифметическую прогрессию второго порядка с шагом в виде арифметической прогрессии первого порядка с шагом $2$, начиная с $1$. Квадраты натуральных чисел вполне естественно располагаются в массиве натуральных чисел и не влияют на появление простых чисел. Они просто существуют в одно время и в одном месте, как лысые и франкоязычные англичане из шутки. Простые числа имеют единственную доказуемую закономерность появления в ряду натуральных чисел, но о ней в Википедии упоминается вскользь: каждое простое число может быть представлено в виде $(6*k + 1)$ или $(6*k – 1)$. Начиная с двух, каждое второе натуральное число кратно двум, а начиная с трех – каждое третье натуральное кратно трем. Значит, если на любом произвольном непрерывном участке ряда натуральных чисел больше четырех, подчеркнуть одной линией все числа кратные двум и трем, а кратные и двум и трем одновременно (кратные шести) подчеркнуть двойной линией, то не подчеркнутыми останутся только нечетные числа сразу перед кратными шести и сразу после кратных шести. На этих, не подчеркнутых, местах располагаются как простые числа, так и кратные всем остальным. Но если каждое второе число, кратное произвольному простому числу, является четным, а каждое третье – кратно трем, и так далее, и могут располагаться на любом месте в зависимости от своей кратности, то простые числа располагаются только на не подчеркнутых, примыкающим к кратным шести, местам, и только на них, потому что они не кратны ни двум ни трем. То есть, полной закономерности расположения простых чисел эта схема не дает, но однозначно указывает, что простые числа могут соседствовать только с теми квадратами чисел, которые кратны шести. Так же, как и англичане, интересующиеся французским языком, могут быть лысыми, но это не взаимосвязано. Отсутствие зависимости между квадратами натуральных чисел и простыми числами подтверждается допустимостью, принятыми представлениями о структуре распространения простых чисел (о бесконечности количества простых чисел и снижения плотности их расположения с увеличением значений чисел в ряду натуральных чисел), существования отрезков ряда натуральных чисел с произвольно большим по максимальному размеру промежутком между соседними простыми числами. В том числе и таким, на котором произвольное простое число $p_{i}$ больше квадрата предыдущего простого числа $ p_{i-1} $:
$ p_{i} >p_{i-1}^2$
Равно как и такого отрезка, на котором произвольное простое число больше куба предыдущего простого числа:
$ p_{i}>p_{i-1}^3$
И даже:
$ p_{i}>p_{i-1}^4 $
Значит, на числовом отрезке, где:
$ p_{i} >p_{i-1}^k$
где $k$ – произвольное натуральное число больше $2$;
условие третьей проблемы Ландау-Лежандра не выполняется.
Четвертая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида $ (n^2 + 1)$, где $n$ – натуральное число.
При отсутствии наличия у нас полной закономерности расположения простых чисел, с учетом уменьшения плотности их распространения, неограниченности количества простых чисел, их привязанности к четным кратным шести, а также, что каждый шестой квадрат натурального числа кратен шести, вероятность того, что для произвольного простого числа вида $ p_{i}= (6*k + 1)$, окажется, что $6*k = n^2$, где $k$ и $n$ – натуральные числа, довольно существенна, но, на данный момент, быть математически рассчитана не может.
01.12.2007 – 01.12.2009.
Добавлю анализ ряда натуральных чисел на примере утверждения Чебышева: он доказал, что $p_{n+1}-p_n<2p_n$
Весь ряд натуральных чисел от нуля до бесконечности можно условно разделить на три части:
1) участок ряда натуральных чисел от нуля (или трёх, не помню от какого значения начинает работать эта формула ) до некоторого простого числа $к1_{i}$ считается участком с нормальной плотностью распределения простых чисел, если для всех простых чисел до порогового $к1_{i}$ включительно, утверждение Чебышева выполняется, а для простого числа $к1_{i+1}$ не выполняется.
2) участок ряда натуральных чисел от простого числа $к1_{i+1}$ до простого числа $к2_{i}$ считается участком с пониженной плотностью распределения простых чисел, если для простого числа $к2_{i}$ утверждение Чебышева выполняется, а для всех простых чисел более $к2_{i}$, от $к2_{i+1}$ включительно, не выполняется. Из-за неравномерности изменения размеров числовых отрезков между соседними простыми числами, на участке ряда натуральных чисел с пониженной плотностью распределения простых чисел от порогового простого числа $к1_{i+1}$ до порогового простого числа $к2_{i}$, утверждение Чебышева выполняется не для всех простых чисел этого участка.
3) участок ряда натуральных чисел, от простого числа $к2_{i+1}$ включительно до плюс бесконечности, считается участком с низкой плотностью распределения простых чисел, если ни для одного простого числа, более или равного пороговом числу $к2_{i+1}$, утверждение Чебышева не выполняется.
Для каждой гипотезы или утверждения существует свое условное деление и свои пороговые простые числа $к1_{i}$, $к1_{i+1}$, $к2_{i}$, $к2_{i+1}$, или другие, зависит от содержания утверждения.
Так вот, доказанная мной лемма не вываливает конкретные значения $к1_{i}$, $к1_{i+1}$, $к2_{i}$, $к2_{i+1}$ как магическая шкатулка, это не формула по поиску простых чисел, нет. Она позволяет доказать существование этих условных отрезков ряда натуральных чисел, описывая поведение простых чисел. По аналогии с утверждением Чебышева, и для трёх проблем Ландау - у них свои условия истинности, свои пороговые значения $к1_{i}$ и $к2_{i}$.
Под давлением проявленного интереса вынужден пояснить логику некоторых выводов.
Плотность простых чисел в ряду натуральных чисел, она же плотность распространения простых чисел в ряду натуральных чисел – в рамках данной статьи применяется в интуитивно понимаемом смысле: количество простых чисел в границах числового отрезка натуральных чисел от нуля до натурального $n$, выраженное в процентном соотношении к размеру рассматриваемого отрезка, в таблицах для пи-функции называется «доля простых чисел».
Уменьшение плотности распространения простых чисел в ряду натуральных чисел – здесь применяется в смысле: чем больше рассматриваемый числовой отрезок от нуля до натурального $n$, тем меньше плотность распространения простых чисел рассматриваемого числового отрезка.
«то есть, расстояние между простыми числами увеличивается и не ограничено» - является следствием двух основных, принятых официальным научным математическим сообществом, постулатов теории чисел и следствия 2 к лемме и вывода из следствия 2 к лемме :
1) Простых чисел бесконечно много. Это утверждение упоминается как «теорема Евклида» в честь древнегреческого математика Евклида, поскольку первое известное доказательство этого утверждения приписывается ему. Известно ещё много доказательств бесконечности простых чисел, в том числе аналитическое доказательство Эйлера, доказательство Гольдбаха на основе чисел Ферма, доказательство Фурстенберга с использованием общей топологии и элегантное доказательство Куммера, изучением распределения простых чисел занимался Чебышёв, который показал более точный, чем теорема Евклида, закон стремления к бесконечности числа простых чисел.
2) Лежандр и Гаусс, независимо друг от друга высказали предположение, что плотность простых чисел в среднем близка к величине, обратно пропорциональной натуральному логарифму. Ш. ла Валле Пуссен и Жак Адамар сформулировали в 1896 году асимптотический закон распределения простых чисел. Использованный ими метод получения асимптотических формул, или метод комплексного интегрирования, стал широко использоваться в дальнейшем. Исследования в области теоремы о распространении простых чисел и функции распределения простых чисел позволили создать таблицы для пи-функции, демонстрирующие уменьшение доли простых чисел (плотности распределения).
3) более полный вариант изложения леммы:
п.1. Существующее наблюдение: простые числа, больше четырех, можно выразить в виде $p_{i}=(6*k+1)$ или $p_{i}=(6*k-1)$, где $p_{i}$ – простое число, $k$ – натуральное число.
Исходя из наблюдения, формулирую тезис: это не значит, что каждое число вида $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$ является простым, но значит что только число вида $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$ может оказаться простым.
Доказательство. Начиная с двух, каждое второе натуральное число кратно двум, а начиная с трех – каждое третье натуральное кратно трем. Из этого, если на любом произвольном непрерывном участке ряда натуральных чисел больше четырех, подчеркнуть одной линией все кратные двум и трем числа, а кратные и двум и трем одновременно (кратные шести) подчеркнуть двойной линией, то не подчеркнутыми останутся только нечетные числа сразу перед кратными шести и сразу после кратных шести. На этих, не подчеркнутых, местах располагаются как простые числа, так и кратные всем остальным. Но если каждое второе число, кратное произвольному простому числу, является четным, а каждое третье – кратно трем, и так далее, и располагаются в зависимости от своей кратности, то простые числа располагаются только на не подчеркнутых в ходе данного эксперимента, примыкающим к кратным шести, местах, и только на них, потому что они не кратны ни двум ни трем по определению простого числа.
Тезис доказан.
п.2. Следствие 1 из п.1. Количество мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, ограничено.
Именно этими позициями, $(6*k+1)$ или $(6*k-1)$, и ограничено.
п.3. Следствие 2 из п.1. Количество свободных мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, уменьшается с увеличением значения $k$ – натуральное число.
Каждое простое число порождает бесконечное подмножество кратных себе натуральных чисел, которое не только, в основном, накладывается на другие подмножества кратности, но и занимает некоторую часть, до этого не занятых, мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа.
п.4. Вывод из следствия 2 из п.1. Расстояние, числовой промежуток, между соседними простыми числами имеет неравномерную тенденцию к увеличению, по причине уменьшения количества свободных мест в ряду натуральных чисел, на которых могли бы располагаться простые числа, с увеличением значения $k$ – натуральное число.
Числовые отрезки между соседними простыми числами, на данный момент, аналитически не упорядочиваются (нет у нас закономерности, полноценно описывающей и предсказывающей появление всех простых чисел в ряду натуральных чисел), а эмпирические исследования подтверждают, хоть и не равномерный, но рост отрезков между ними, и асимптотическое уменьшение (уменьшение не останавливается и не переходит в прямую) доли простых чисел свидетельствует о сохранении тенденции увеличения (не равномерного, не поступательного, возможно волнообразного, но увеличения) размеров числовых отрезков между соседними простыми числами. Вспомнив, что количество натуральных чисел бесконечно, что количество простых чисел бесконечно, что разница между ними медленно и неравномерно увеличивается, можно понять, что процесс увеличения разницы между соседними простыми числами не ограничен максимальным значением последнего существующего простого числа или окончанием числового ряда, что допускает существование отрезков ряда натуральных чисел с произвольно большим по максимальному размеру промежутком между соседними простыми числами. То есть, расстояние между простыми числами увеличивается и не ограничено, что однозначно допускает существование, в том числе, таких участков натуральных чисел, где произвольное простое число $p_{i}$ больше, чем удвоенное предыдущее ему простое число $p_{i-1}$, и количество участков ряда натуральных чисел с подобным соотношением простых чисел не ограничено.
А по поводу всех прочих работ и изысканий, в том числе гипотез, тезисов, и прочее, авторства Чебышева, Лежандра, Чудакова, Ингама, Татутзавы, Андрика ( и многих других, всех не перечислю), разобранные мной выше и не только: они вполне гармонично вписываются в следствия и вывод из леммы. Если бы они в своих умозаключениях и финальных выводах оперировали бы только конкретными числами, то я бы, несомненно, был бы совершенно не прав, если бы критиковал их действия. Или если бы они, хотя бы, как обязательную часть своих формул и выводов, оговаривали бы условия их применения, например:"формула и выводы корректны на участке от 3 до ******** (указывается число) включительно", что не позволяло бы применять данные формулы и выводы к числовым отрезкам более указанного. А так вот случилось, что этих ограничений в свободном доступе нет - есть голые формулы и авторитет. Поэтому все кто в математической теме, по разным причинам, делают общую ошибку: они экстраполируют, применяют результаты и формулы, полученные и проверенные автором для конкретного числового отрезка, за его пределы на непроверенные автором участки. Эта экстраполяция гипотезы на числовой отрезок, в котором она экспериментально не просчитывалась, на который она не предназначалась, недопустима. А лемма объясняет поведение простых чисел на всех участках ряда натуральных чисел. В том числе, на не исследованных и не систематизированных.