Российский математик нашел способ решить «нерешаемое» уравнение XIX века

Российский математик Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми принятым аналитическим путем.

Учёный из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов предложил метод решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами — задачи, которая считалась неразрешимой с 1834 года. Его работа открывает новые возможности в фундаментальной математике, физике и экономике, сообщает Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики.

В 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты, используя стандартный набор действий: сложение и вычитание, умножение и деление, а также элементарные функции, такие как корни, логарифмы, синус, косинус, и интегралы. С того времени более 190 лет это являлось константой в перечисленных технических дисциплинах. Простую формулу, похожую на формулу решения квадратного уравнения через дискриминант, давно перестали искать для дифференциальных уравнений. 

— В средней школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax2+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант. Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay''+ by'+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное, — поясняет университет.

Но Ремизов обошёл это ограничение, расширив привычный набор инструментар — он добавил операцию нахождения предела последовательности, что позволило вывести универсальную формулу —  подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение — функцию y. 

Если классическое квадратное уравнение описывает движение по ровной дороге с постоянной скоростью, то уравнения, которые изучал Ремизов, — это движение по постоянно меняющемуся ландшафту, где влияют тысячи факторов. Его метод позволяет «нарезать» этот сложный процесс на бесконечное число простых шагов, а затем с помощью преобразования Лапласа (математического метода, который переводит задачу с языка сложных изменений на язык обычных алгебраических вычислений) собрать их в точное решение.

— Представьте, что решение уравнения — это большая картина. Мы не можем увидеть её сразу, но можем восстановить, быстро прокрутив «киноленту» её создания, — поясняет Иван Ремизов.

Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для моделирования событий реального мира, но и для определения новых функций, которые нельзя задать иным образом. Например, так называемые специальные функции Матье и Хилла, отнсящися к ним, критически важны для понимания того, как движутся спутники на орбите или протоны в Большом адронном коллайдере.

— Единственное рабочее определение таких функций заключается в том, что они являются решениями конкретных сложных уравнений. Это как если бы вы не знали имени человека и могли описать его только через работу. Например: тот человек, который водит красный автобус по пятому маршруту. Понятно, о ком идет речь, но на практике не помогает обратиться к нему по имени, — поясняет Иван Ремизов.

Открытие создаёт мост между классической математикой и современной физикой: решение впервые можно записывать в форме, аналогичной интегралам Нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, с помощью которых описывают движение квантовых частиц.

Результаты работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале. 

Ранее российские учёные впервые вырастили кристаллы в открытом космосе.