Этот математический лайфхак помог шпионам во Второй мировой. Простой способ сосчитать что угодно
Вы когда-нибудь пытались мысленно прикинуть, сколько птиц в огромной стае, проносящейся над головой? Или, может, задавались более приземлённым вопросом: куда вечно исчезают вилки из офисной кухни? На первый взгляд, эти задачи кажутся невыполнимыми. Мир полон объектов, которые находятся в постоянном движении, появляются и исчезают, делая прямой подсчёт бессмысленным.
Однако там, где пасует интуиция, на помощь приходит элегантная логика. Существует удивительно простой и в то же время мощный статистический метод, позволяющий заглянуть за завесу хаоса и получить весьма точную оценку численности скрытых от нас популяций. И что самое интересное, один и тот же принцип работает как для редких видов животных, так и для вражеской бронетехники или кухонной утвари.
Шаг первый: Поймай, если сможешь (и пометь!)
В своей классической форме этот приём известен как метод «отлова и повторного отлова» (или индекс Линкольна-Петерсена, как его называют биологи). Представьте, что вы эколог, которому нужно выяснить, сколько рыб обитает в большом озере. Пересчитать их всех, осушив водоём, — абсурд. Вместо этого вы действуете хитрее.
- Отлов: Вы забрасываете сеть и вылавливаете, скажем, 200 рыб.
- Маркировка: Каждую пойманную рыбу вы аккуратно метите — например, крошечной водостойкой меткой, — а затем выпускаете обратно в озеро. Теперь в озере плавают 200 «особенных» рыб.
- Повторный отлов: Через некоторое время, когда помеченные рыбы успели равномерно перемешаться с остальными, вы снова забрасываете сеть. В этот раз в улове оказывается, допустим, 100 рыб.
- Анализ: Вы внимательно осматриваете новый улов и видите, что из 100 рыб 10 имеют вашу метку.
А теперь — магия пропорций. Если в вашей случайной выборке помечен каждый десятый экземпляр (10 из 100), логично предположить, что и во всём озере помечена примерно каждая десятая рыба. А поскольку мы точно знаем, сколько всего помеченных рыб мы выпустили (200), остаётся простое уравнение: если 200 — это одна десятая от всей популяции, то общее количество рыб в озере составляет примерно 2000.
Просто, не правда ли? Никакой сложной аппаратуры, никакого тотального контроля. Лишь логика, метка и два похода на «рыбалку». Именно так учёные оценивают популяции бабочек, черепах, птиц и многих других животных, чья жизнь скрыта от наших глаз.
Когда «отлов» — это не то, о чём вы подумали
Самая большая красота этого метода — в его гибкости. «Отлов» и «метка» не обязательно должны быть буквальными. Стоит лишь понять основной принцип — соотношение известной части к неизвестному целому, — и его можно применить в самых неожиданных ситуациях.
Ярчайший пример — знаменитая «проблема немецких танков» времён Второй мировой войны. Аналитики союзников отчаянно пытались понять, сколько танков «Пантера» производит промышленность Третьего рейха. Информация была критически важна для планирования военных операций. Шпионские донесения давали слишком завышенные цифры, а командование требовало точности.
Решение пришло из статистики. Захваченные и подбитые танки не «выпускали обратно в популяцию», но у них было кое-что получше метки — заводские серийные номера. Аналитики предположили, что немцы нумеруют свою технику последовательно: 1, 2, 3… N. Каждый захваченный танк с его номером становился «повторным отловом» из общей, неизвестной нам «популяции» произведённых танков.
Анализируя разброс серийных номеров, статистики смогли с поразительной точностью оценить общее число выпущенных машин (N). Их формула была чуть сложнее простого деления, но суть оставалась той же: на основе небольшой выборки (серийные номера) делался вывод обо всей генеральной совокупности (все произведённые танки). После войны, когда архивы были открыты, выяснилось, что оценки статистиков были невероятно близки к реальным цифрам производства, в отличие от панических донесений разведки.
Подводные камни невидимого учёта
Конечно, этот метод не является абсолютной панацеей. Его точность зависит от нескольких ключевых допущений. Для животных важно, чтобы метка не влияла на их выживаемость (например, не делала их более заметными для хищников) и чтобы популяция была «закрытой» — без массовой миграции или гибели особей между двумя отловами.
В случае с танками расчёт был бы неверным, если бы немцы присваивали номера хаотично или если бы союзники захватывали танки только из одного конкретного батальона.
Но даже с этими оговорками метод «отлова-повторного отлова» остаётся блестящим примером того, как математическое мышление помогает нам измерять мир. От экологии до военной аналитики и даже борьбы с пропажей чайных ложек в лаборатории (да, было и такое исследование!), этот принцип демонстрирует одну простую истину: чтобы понять целое, не всегда нужно видеть его целиком. Иногда достаточно лишь внимательно посмотреть на его часть.