Математическая головоломка о последовательных числах (ответ)

Ответ на головоломку:

Сначала кажется, что Алиса и Боб не могут сделать ничего лучше, чем просто попробовать случайно отгадать число.

У каждого из них есть шанс получить выигрыш, но он равен лишь 50%.

Но существует метод, с помощью которого их шанс выиграть равняется 100%, если они используют свою логику.

Ключевой деталью является то, что участникам даны два положительных последовательных числа. Если Алисе говорят число N, она знает, что у Боба N-1 или N+ 1.

Предположим, что Алисе говорят число 1. У Боба тогда может быть 0 или 2. Но 0 не является положительным числом, поэтому у Боба должно быть точно число 2. В таком случае, Алиса сразу угадала бы число Боба, как только бы часы пробили в первый раз.

(И наоборот, если у Боба число 1, он правильно угадает, что у Алисы число 2, и сразу же сообщит об этом, как только часы начнут бить по истечении первой минуты игры).

И вот у них в кармане миллион!

Теперь продолжим рассуждать. Как насчет бо́льших чисел?

Предположим, у Алисы число 2, и проходит первая минута игры. У Боба может быть 1 или 3. Но ведь если бы у Боба было число 1, он бы угадал число Алисы (а это, как мы знаем, 2) по первому сигналу часов. Так что если Боб не называет число Алисы после первой минуты, то у него должно быть число 3. Алиса понимает это после первого оборота стрелки и угадывает число Боба по второму сигналу часов.

(И наоборот, если у Боба число 2, то он точно так же догадается, что у Алисы число 3, и сообщит об этом после второго сигнала часов)

Чтобы не перебирать числа по порядку, применим индуктивный метод.

Предположим, Алисе говорят число N, и часы сигналят N-1 раз без каких-либо попыток Боба угадать число.

Если бы у Боба было N-1, он бы догадался, какое число у Алисы, по N-1 сигналу часов.

Так что если Боб молчит, то у него должно быть бо́льшее число N+1. Таким образом, Алиса догадывается, что у Боба число N+1, как только часы прозвенят ровно N раз.

(Точно так же Боб угадал бы правильно, если бы у него было число N, после того как часы прозвенели N-1 раз)

Таким образом, Алиса и Боб всегда могут выигрывать!

.