«Невозможное» уравнение, считавшееся неразрешимым на протяжении столетий, наконец-то нашло решение

Математик Сиднейского университета Нового Южного Уэльса (UNSW) впервые успешно решил «невозможное» уравнение, которое когда-то считалось неразрешимым.

Предыдущие попытки решить полиномиальные уравнения «высшего порядка», которые называют самой старой проблемой алгебры, постоянно терпели неудачу, оставляя математиков без важнейшего инструмента. Новый метод решает эту проблему и, возможно, навсегда изменит математику.

«Наше решение вновь открывает ранее закрытую книгу в истории математики», — говорит почетный профессор UNSW Норман Вилдбергер, возглавлявший исследование.

Как невозможное уравнение было наконец решено

Согласно заявлению университета, в котором сообщается о решении самого старого невозможного уравнения алгебры, многочлены представлены в виде уравнения. Например, многочлен степени два будет записан как 1+ 4x — 3×2 = 0, где переменная «x» возведена во вторую степень. Однако в заявлении отмечается, что всякий раз, когда переменная возводится в степень пять или выше, решение уравнения «исторически оказывается труднодостижимым».

Хотя решения многочленов двух степеней существовали с тех пор, как древние вавилоняне обнаружили их в 1800 году до нашей эры, уравнение и его пределы были открыты только в 1832 году французским математиком Эваристом Галуа. Согласно релизу, Галуа определил, что невозможное уравнение является предельным и что «никакая общая формула не может их решить».

С тех пор было найдено несколько «приблизительных» решений для многочленов высших порядков. Однако, по мнению Вильдбергера, эти решения не относятся к чистой алгебре.

В своем недавно опубликованном исследовании, описывающем новое решение, профессор объясняет, что ограничение на традиционное уравнение существует потому, что в формуле используются третий и четвертый корни, которые являются радикальными числами. Поскольку радикалы обычно представляют собой иррациональные числа, такие как число Пи, которое простирается до бесконечности без повторения, их нельзя представить в виде простых дробей. По словам Вильдбергера, это делает невозможным вычисление многочленов высших порядков традиционным способом, поскольку «вам потребуется бесконечное количество работы и жесткий диск размером больше, чем Вселенная».

Профессор говорит, что, по его словам, к счастью для математического сообщества, он не верит в иррациональные числа. Самые успешные работы Вильдбергера в области математики — рациональная тригонометрия и универсальная гиперболическая геометрия — функционируют без радикалов. Вместо этого его работы, включая новое решение невозможного уравнения, используют специальные расширения многочленов, известные как «силовые ряды», которые могут иметь бесконечное число членов для переменной x без использования радикалов.

Чтобы проверить, работает ли его новое решение невозможного уравнения, Уайлдбергер обратился к проблеме, которая оставалась нерешенной на протяжении веков: знаменитое кубическое уравнение, использованное Уоллисом в XVII веке для демонстрации метода сэра Исаака Ньютона. Когда вековое уравнение было проверено с помощью нового метода, Уайлдбергер смог получить «приблизительные числовые ответы», доказав, что оно работает.

«Наше решение сработало великолепно», — сказал профессор.

Комбинаторика в помощь

Несмотря на то, что впервые алгебраическое уравнение решило задачу, новый метод основан на ветви математики под названием комбинаторика, которая представляет собой последовательности чисел. Самая известная из таких последовательностей называется «числами Каталана» и используется для обозначения количества способов разрезать любой многоугольник, или фигуру с тремя или более сторонами.

«Считается, что числа Каталана тесно связаны с квадратным уравнением», — пояснил Вильдбергер. «Наша инновация заключается в том, что если мы хотим решать более высокие уравнения, то должны искать более высокие аналоги чисел Каталана».

Расширив эти числа от одномерного до многомерного массива, математик нашел неуловимое решение ранее невозможного уравнения.

«Мы нашли эти расширения и показали, как логически они приводят к общему решению полиномиальных уравнений», — пояснил он. «Это кардинальный пересмотр базовой главы алгебры».

Перспективы для широкого круга приложений

Хотя новое решение представляет теоретический интерес для математиков, Вильдбергер говорит, что его подход может привести к созданию компьютерных программ, предназначенных для решения многочленов высших порядков с помощью алгебраического ряда вместо радикалов.

«Это основной вид вычислений для большей части прикладной математики, так что это возможность для улучшения алгоритмов в широком диапазоне областей».

В новом исследовании, соавтором которого является компьютерный ученый доктор Дин Рубин, вновь открытый массив чисел назван Geode. По словам соавторов, этот массив может обладать «огромным потенциалом» для дальнейших исследований.

«Мы ожидаем, что изучение этого нового массива Geode вызовет множество новых вопросов и займет комбинаторику на долгие годы», — сказал Вильдбергер. «На самом деле, существует очень много других возможностей. Это только начало».

Запись «Невозможное» уравнение, считавшееся неразрешимым на протяжении столетий, наконец-то нашло решение впервые опубликована на сайте Про технологии.