Об экзамене по математике в высшую нормальную школу в Пизе
При поступлении в Scuola Normale Superiore производится исключительно тщательный и по возможности максимально объективный отбор: уровень подготовки будущих учеников должен соответствовать запросам учебного процесса — поступившие должны обладать знаниями, позволяющими им поддержать статус «нормалистов» в течение всего cursus studiorum (времени обучения). Поэтому ежегодное общее количество мест (гуманитарии + естественники) в Scuola Normale Superiore очень невелико - всего около шестидесяти! Это не только гарантирует высокий уровень обучающихся, но и позволяет повысить само качество обучения за счет «семинарной» схемы проведения лекций и обеспечить постоянное пересечение и взаимопроникновение учебного и научно-исследовательского процессов.
Комиссия, состоящая из преподавателей Школы и других учебных заведений, оценивает абитуриентов, стараясь выявить способности к обучению и исследованиям. Интересно отметить, что при зачислении в Школу для достижения наибольшей объективности не учитываются никакие предыдущие титулы и «бонусы» конкурсантов - так, например, оценки за выпускные экзамены никак не влияют на результаты отбора.
Экзамены, письменные и устные, производятся в августе и сентябре, их содержание зависит от выбранной области - гуманитарной или естественно-научной. Здесь мы приводим задачи письменного экзамена по математике (область естественных наук) за 2016 г. и их решение. Продолжительность этого экзамена составляет 6 часов.
Задание 1. Пусть N = {1, 2, ...} множество натуральных чисел, и для `n in N` функция `g (n)` есть целая часть числа `sqrt(n).` Пусть `f: N -> N` инъективное отображение и `f(2016) = 1916.` Доказать, что существует такое `n,` что `g(f(n)) > g(n).`
Задание 2. а) Созданная в результате инноваций единица памяти представляет собой заполненный битами прямоугольник размером `a xx l` (`a` и `l` соответственно его высота и длина), при этом `a >= 2,` `l >= 2.` Этот прямоугольник разделён на квадратные ячейки со стороной 1; в каждой ячейке можно запомнить один бит со значением либо 0, либо 1. Есть ограничение — сумма значений в каждой строчке и в каждом столбце прямоугольника памяти должна быть нечётной. Сколькими различными способами можно заполнить битами этот прямоугольник памяти?
б) После нескольких лет исследований компания разработала новую единицу памяти, которая представляет собой прямоугольный параллелепипед размером `a xx l xx p,` где `a,` `l,` `p` - его высота, длина и ширина соответственно, при этом `a >= 2,` `l >= 2,` `p >= 2.` Параллелепипед разбит на кубики со стороной 1, и в каждом кубике можно запомнить один бит. На этот раз ограничения касаются суммы значений битов в рядах кубиков, расположенных вдоль осей параллелепипеда. В каждом таком ряду эта сумма, как и предыдущем случае, должна быть нечётной. Сколькими различными способами с соблюдением этого условия можно заполнить битами этот параллелепипед памяти?
Задание 3. Сколько существует целочисленных положительных решений уравнения `1/x+1/y=1/6?`
Задание 4. Для своей любимой игры Андреа требуется пара костей (традиционно используются кубики с шестью гранями и с очками на этих гранях от 1 до 6). К сожалению, Андреа потерял оригинальные кости, но нашёл вместо них две кости с 4 и 9 гранями (неважно, какой формы эти необычные кости, а важно, что вероятность выпадения каждой грани на них одинакова). Как Андреа расставить очки на гранях этих костей, чтобы вероятность выпадения очков при метании этих необычных костей совпадала с вероятностью выпадения тех же очков при метании стандартных шестигранных костей? Предложите все возможные решения.
Задание 5. Пусть `P = (0, 0)` - начало координат на плоскости `xy,` и `A` — множество на этой плоскости, не содержащее `P.` Рассмотрим геометрическое место точек `C` центров всех окружностей с положительным радиусом, проходящих через `P` и не содержащих внутри себя точек множества `A.`
(i) Найти в явном виде `C,` если множество `A` представляет собой вертикальную прямую `L,` заданную уравнением `x = 2.`
(ii) Найти в явном виде `C,` если множество `A` представляет собой окружность `B` с центром в точке `X = (3, 0)` и радиусом 1.
(iii) Для любого множества `A` докажите, что если точки `P_1` и `P_2` принадлежат `C,` то для любой точки `P_3` из отрезка `P_1P_2` верно, что либо `P_3 in C,` либо `P_3 = P.`
Задание 6. Пусть `P(t) = t^n + x_1t^{n-1} + ... + x_{n-1}t + x_n` многочлен с действительными коэффициентами `x_1; x_2, ..., x_n`, и `x_n != 0.` Предположим, что многочлен `P` имеет в качестве корней коэффициенты `x_1, x_2, ..., x_n,` то есть можно сказать, что `P(t)=(t - x_1) (t - x_2) ... (t - x_n).`
а) Найти все многочлены третьей степени с рациональными коэффициентами, удовлетворяющие этому свойству.
б) Доказать, что для всех `n >= 6` не существует многочленов `P,` обладающих этим свойством.
P.S. Полную версию заметки можно прочитать в журнале Математика в школе, 2018, № 6.